이토 공식은 왜 2차 항을 버리지 않는가

브라운 운동의 이차변분이 결정론과 다른 이유부터 Doléans-Dade 지수와 Black-Scholes PDE까지, 이토 공식의 통일된 논리를 추적한다.

결정론적 미적분에서 $(\Delta x)^2$ 은 $O((\Delta t)^2)$ 이므로 Taylor 전개의 2차 항은 극한에서 사라진다. 그런데 브라운 운동에서는 $(\Delta B)^2 \sim O(\Delta t)$ 로, 2차 항이 죽지 않는다. 이 단순한 사실 하나가 이토 공식 전체를 만들어내고, 나아가 Score-SDE와 DDPM의 역방향 과정까지 이어진다. 왜 브라운 운동에서만 2차 항이 살아남는가?

브라운 운동은 결정론과 수렴 속도가 다르다

결정론에서 $x(t)$ 가 미분가능하면 연쇄법칙은 1차로 끝난다.

$\frac{d}{dt}f(x(t)) = f'(x(t))\dot{x}(t)$

브라운 운동 $B_t$ 에 같은 Taylor 전개를 시도하면 2차 항이 남는다.

$df(B_t) = f'(B_t)\,dB_t + \frac{1}{2}f''(B_t)\,dt$

왜냐하면 $\Delta B_t \sim N(0, \Delta t)$ 이므로 $\mathbb{E}[(\Delta B_t)^2] = \Delta t$ 다. 제곱이 $(\Delta t)^2$ 이 아니라 $\Delta t$ 로 수렴한다. 따라서 Taylor 전개의 2차 항이 극한에서 유한한 값으로 남는다.

이것이 이차변분(quadratic variation) 정리의 핵심이다. 분할 $\pi_n$ 의 메시 $|\pi_n| \to 0$ 일 때,

$\sum_{i=0}^{n-1}(\Delta B_i)^2 \xrightarrow{L^2} T$

수렴 속도는 $\mathrm{Var}[Q_n] = 2|\pi_n|T \to 0$ 으로, 분할을 잘게 쪼갤수록 $Q_n$ 이 $T$ 에 집중된다. 결정론적 함수의 이차변분이 0인 것과 정반대다.

명제 1 · 이차변분과 곱셈표

브라운 운동 $B_t$ 에 대해 다음 곱셈표가 이토 의미에서 성립한다.

$dB_t \cdot dB_t = dt, \qquad dB_t \cdot dt = 0, \qquad dt \cdot dt = 0$

▷ 증명

첫 번째 등식은 이차변분 정리( $Q_n \xrightarrow{L^2} T$ )로부터 직접 나온다. 두 번째는 $\Delta t \cdot \Delta B \sim (\Delta t)^{3/2}$ 이므로 합산 시 0으로 수렴한다. 세 번째는 $(\Delta t)^2$ 의 합이 $|\pi_n| \cdot T \to 0$ 임에서 따른다.

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이토 공식의 구조

일반 이토 과정 $dX_t = b\,dt + \sigma\,dB_t$ 에 $f \in C^2$ 를 적용하면:

$df(X_t) = f'(X_t)\,dX_t + \frac{1}{2}f''(X_t)\,\sigma^2\,dt$

전개하면:

$df(X_t) = \underbrace{f'(X_t)b\,dt + f'(X_t)\sigma\,dB_t}_{\text{1차 항}} + \underbrace{\frac{1}{2}f''(X_t)\sigma^2\,dt}_{\text{이차변분 기여}}$

표준적인 두 예시로 확인하자.

$f(x) = x^2$ 이면 $d(B_t^2) = 2B_t\,dB_t + dt$ . 기댓값을 취하면 $\mathbb{E}[B_t^2] = t$ 가 확인된다. 이토 적분 항은 마팅게일이므로 기댓값 기여가 0이다.

$f(x) = \log x$ 를 $dS_t = \mu S_t\,dt + \sigma S_t\,dB_t$ 에 적용하면:

$d(\log S_t) = \left(\mu - \frac{\sigma^2}{2}\right)dt + \sigma\,dB_t$

따라서 기하 브라운 운동(GBM)의 명시 해가 나온다.

$S_t = S_0\exp\!\left(\!\left(\mu - \frac{\sigma^2}{2}\right)t + \sigma B_t\right)$

$-\sigma^2/2$ 는 이차변분이 만드는 드리프트 보정이다. 이 항을 빠뜨리면 $\mathbb{E}[S_t]$ 의 계산이 틀린다.

다차원으로의 확장과 Trace 항

$d$ 차원 상태 벡터 $X_t \in \mathbb{R}^d$ 를 다루는 Score-SDE나 DDPM에서는 다차원 이토 공식이 필요하다.

$df(t, X_t) = \left(\partial_t f + b^T\nabla f + \frac{1}{2}\mathrm{tr}(\sigma\sigma^T\nabla^2 f)\right)dt + (\sigma^T\nabla f)^T dB_t$

새롭게 등장하는 항은 두 가지다. 첫째, 명시적 시간 의존 $\partial_t f$ . 둘째, Trace 항 $\frac{1}{2}\mathrm{tr}(\sigma\sigma^T\nabla^2 f)$ . 이 Trace 항은 서로 다른 축의 노이즈가 독립이라는 사실에서 온다. $dB^i \cdot dB^j = \delta_{ij}\,dt$ 이므로 교차항은 소멸하고 대각 항만 살아남아 Trace가 된다.

DDPM forward 과정 $dX = -\frac{\beta_t}{2}X\,dt + \sqrt{\beta_t}\,dB$ 에서 $\|X_t\|^2$ 의 드리프트를 계산하면:

$d(\|X_t\|^2) \text{의 drift} = -\beta_t\|X_t\|^2 + d\beta_t$

$d\beta_t$ 는 Trace 항에서 온다. 이 구조가 variance schedule 설계의 근거다.

Doléans-Dade 지수 — 드리프트를 지우는 보정

이토 공식을 역으로 활용하면 특별한 마팅게일을 만들 수 있다. $e^{M_t}$ 에 이토 공식을 적용하면 드리프트 항이 생긴다. 이것을 정확히 상쇄하는 보정항을 붙인 것이 Doléans-Dade 지수다.

$\mathcal{E}(M)_t := \exp\!\left(M_t - \frac{1}{2}\langle M\rangle_t\right)$

정리 2 · 확률 지수 마팅게일

연속 국소 마팅게일 $M_t$ ( $M_0 = 0$ )에 대해 $d\mathcal{E}(M)_t = \mathcal{E}(M)_t\,dM_t$ 가 성립한다. Novikov 조건 $\mathbb{E}[\exp(\frac{1}{2}\langle M\rangle_T)] < \infty$ 를 만족하면 $\mathcal{E}(M)$ 은 진정 마팅게일이다.

▷ 증명

$f(u, v) = e^{u - v/2}$ 로 쓰고 이토 공식을 적용한다. $\partial_u f = e^{u-v/2}$ , $\partial_v f = -\frac{1}{2}e^{u-v/2}$ , $\partial_{uu} f = e^{u-v/2}$ . 드리프트 항을 모으면 $(-\frac{1}{2} + \frac{1}{2})e^{M-\langle M\rangle/2}\,d\langle M\rangle = 0$ 이 되어 드리프트가 정확히 소멸한다.

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Girsanov 정리는 이 구조의 직접적 응용이다. $\theta_t = \mu/\sigma$ 로 설정하면 Radon-Nikodym 밀도

$\frac{d\tilde{\mathbb{P}}}{d\mathbb{P}}\bigg|_{\mathcal{F}_t} = \mathcal{E}\!\left(-\int_0^t\theta_s\,dB_s\right)_t$

가 측도 $\tilde{\mathbb{P}}$ 아래에서 원래 과정의 drift를 제거한다. Score-SDE에서 forward SDE를 reverse SDE로 변환할 때 쓰이는 likelihood weighting이 바로 이 형태다.

✎ 트레이드오프

이토 공식은 $f \in C^2$ 정규성을 요구한다. $|x|$ 나 $x^{1.5}$ 같은 비정수 거듭제곱은 직접 적용 불가다. 또한 점프(jump)가 있는 Lévy 과정으로 넘어가면 이차변분이 연속 부분과 점프 부분으로 분해되어 보정 항이 추가된다. 생성모델에서 continuous diffusion 가정을 벗어나면 이 한계에 직접 부딪힌다.

Black-Scholes PDE — SDE와 PDE의 연결

이토 공식의 응용 중 가장 구조적인 것이 Black-Scholes PDE 유도다. $V(t, S_t)$ 에 다차원 이토 공식을 적용하면:

$dV = \left(\partial_t V + \mu S\,\partial_S V + \frac{1}{2}\sigma^2 S^2\,\partial_{SS}V\right)dt + \sigma S\,\partial_S V\,dB_t$

$\Delta = \partial_S V$ 로 설정하면 포트폴리오 $\Pi = V - \Delta S$ 에서 노이즈 항이 소멸한다. 무위험 조건 $d\Pi = r\Pi\,dt$ 를 적용하면:

$\partial_t V + \frac{1}{2}\sigma^2 S^2\,\partial_{SS}V + rS\,\partial_S V - rV = 0$

이것이 Black-Scholes PDE다. SDE의 이차변분 항 $\frac{1}{2}\sigma^2 S^2\,\partial_{SS}V$ 가 PDE의 핵심 항으로 그대로 등장한다. 확률 세계의 노이즈 축적이 결정론적 방정식의 2차 미분으로 번역되는 순간이다.

정리

브라운 운동에서 $(\Delta B)^2 \sim \Delta t$ 이므로 Taylor 2차 항이 살아남고, 이것이 이토 공식의 $\frac{1}{2}f''\sigma^2\,dt$ 항을 만든다.
이차변분 정리 $\sum(\Delta B_i)^2 \xrightarrow{L^2} T$ 는 곱셈표 $(dB)^2 = dt$ 를 엄밀하게 정당화한다.
Doléans-Dade 지수 $\mathcal{E}(M)_t = e^{M_t - \frac{1}{2}\langle M\rangle_t}$ 는 이차변분이 만드는 드리프트를 정확히 보정하여 마팅게일을 구성하며, Girsanov 정리를 통해 Score-SDE의 측도 변환으로 이어진다.
Black-Scholes PDE의 2차 미분 항은 SDE의 이차변분 항이 결정론적 방정식으로 번역된 것이다.